Андрей Леонов появился на свет 15 июня 1959 года в Москве. Отец Андрея - известный актер кино и театра Евгений Леонов. В школе мальчик имел среднюю успеваемость.
Дебют в кино состоялся в тринадцатилетнем возрасте, тогда ему досталась эпизодическая роль в драме «Гонщики» режиссера Игоря Масленникова.
В 1976 году приступил к обучению в Высшем театральном училище им. Б. Щукина на курсе А. Казанской, мечтал играть в постановках «Легенда о Тиле» и «В списках не значился».
В 1978 году актер снимался вместе с отцом в знаменитой картине
«Обыкновенное чудо» Марка Захарова в роли ученика охотника. В ленте также снимались такие известные актеры, как Ирина Купченко, Юрий Соломин, Александр Абдулов, Андрей Миронов.
В 1979 году, сразу по окончании училища, его приняли в труппу театра Ленком. После двухлетней работы в театре актер решил отправиться служить в армию.
По возвращении Андрей Леонов снова поступил в Ленком. Его можно было увидеть в спектаклях «Гамлет», «Две женщины», «Королевские игры», «Поминальная молитва». При этом в кино он почти не снимался.
В 1984 году он сыграл одну из главных ролей в драме
«Время и семья Конвей» Владимира Басова. В 1990 году он сыграл незначительную роль пилота в киноленте «Подземелье ведьм» Юрия Мороза.
Основательно трудиться в кино Андрей Леонов стал с 2002 года, когда снялся в детективном телесериале
«Женская логика», сыграв следователя. Затем в свет вышел сериал «На углу Патриарших 2», а после - «Богатство» по роману В. Пикуля.
В 2005 году актер появился в роли соратника и друга Сергея Есенина в сериале «Есенин», над которым работал Игорь Зайцев, главную роль исполнил Сергей Безруков.
Через два года Леонов снимался в сериале «Папины дочки» в роли многодетного отца и психотерапевта. После выхода на экраны этой киноленты Андрея начали называть «Главным папой».